还有不到一个月就高考了，后台最近收到的私信里，问得最多的就是数学怎么提分。

我翻了几百条留言，发现大部分同学的问题都不是不会做难题，而是基础题该拿的分全丢了：三角函数诱导公式用错，数列证明题跳步扣分，立体几何把向量余弦值直接当答案，概率题搞混放回和不放回抽样…其实最后这个阶段，根本不用去啃偏题怪题，把我下面说的这四类核心题型的得分细节抠到位，至少能多拿25-30分，性价比拉满。

三角函数：公式记准就能拿的分，一分都不许丢

很多同学觉得三角函数是送分题，结果一上来就错在公式上。

首先把归一公式、诱导公式的基础形态刻在脑子里：\( a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(\theta + \varphi) \)，其中\( \varphi \)的取值要根据\( a、b \)的符号判断象限，别上来就写\( \arctan\frac{b}{a} \)丢象限分；

诱导公式别记混符号，\( \sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha \)、\( \sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha \)这种高频错的，每天过一遍。

考试里遇到给\( \sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) = \frac{1}{3} \)求\( \cos(\frac{\pi}{3} - \alpha) \)的题，别傻乎乎展开，直接看角度关系：\( \frac{\pi}{3} - \alpha = \frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{6} + \alpha) \)，直接就能用诱导公式得出结果，根本不用复杂计算。

阶段别练三角函数的难题，就每天抽10分钟过一遍公式，做3道基础求值题，保证全对。这部分一共就5分左右，一分不丢，就能比别人多拿至少5分。

数列题：证明别跳步，不等式就这两种套路

数列题的第一问基本是送分，求等差等比数列的通项时，要是让你证明数列是等差或者等比，最后下结论的时候一定要写上“以\( a_1 \)为首项，\( d \)（\( q \)）为公差（公比）的等差（等比）数列”，别只写个“是等差（等比）数列”就完事，少写这句话直接扣1-2分，太冤。

第二问的不等式证明分两种情况，直接套就行：如果不等式一端是常数，另一端是含\( n \)的式子，优先用放缩法，比如常见的裂项放缩，\( \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \)，把复杂的通项放缩成熟悉的裂项形式，就能凑出常数或者简单的含\( n \)式；

如果两端都是含\( n \)的式子，优先用数学归纳法，这里重点说两个扣分重灾区：一是\( n=k+1 \)的时候一定要用到\( n=k \)的假设，不然直接算出来也不给分；二是把\( n=k+1 \)时的式子减目标式子，看符号，要是差个负号，就适当放缩左边的项，比凑目标式子简单10倍。

实在凑不出来就构造函数，比如要证\( a_n > f(n) \)，就设\( g(n) = a_n - f(n) \)，证明\( g(n) \)单调递增且\( g(1) > 0 \)，直接就出来了。

写结论的时候别偷懒，一定写上“综上，由①②得证”，少了这句话也会扣分。

立体几何：别啥题都建系，角的余弦值别搞错范围

很多同学看到立体几何大题第一反应就是建系算坐标，其实没必要：要是只让你证明线面平行、线面垂直、面面平行这种位置关系，直接用几何定理就行，比如线面平行就找线线平行，面面垂直就找线面垂直，比建系算坐标快，还不会因为坐标算错全盘皆输。

只有求异面直线所成的角、线面角、二面角、求几何体的高/表面积/体积、存在性问题的时候再建系。这里最容易扣分的是向量夹角和所求角的关系：异面直线所成的角范围是\( (0, \frac{\pi}{2}] \)，要是算出来的向量夹角余弦值是负的，直接取绝对值，别写负数；

线面角的范围是\( [0, \frac{\pi}{2}] \)，是直线方向向量和法向量夹角的余角，所以余弦值等于两者夹角正弦值，或者直接取\( \left|\cos\langle \vec{a}, \vec{n} \rangle\right| \)；

二面角的范围是\( [0, \pi] \)，要是画图看出来是锐角就取正，钝角就取负，别上来就绝对值，2019年全国卷那道立体几何大题，好多同学二面角余弦值算出来是\( -\frac{\sqrt{3}}{3} \)，直接取绝对值，白白丢了2分。

阶段练5道立体几何真题就行，一道证明，一道求角，一道求体积，保证全对，这部分一共12分左右，拿10分很轻松。

概率题：搞清抽样类型，正难则反能省一半时间

概率题丢分基本都是因为细节没注意：首先搞清是放回抽样还是不放回抽样，放回的话每次试验的概率不变，不放回的话每次的概率都会变，比如袋子里有3个红球2个白球，第一次摸到红球的概率是\( \frac{3}{5} \)，不放回的话第二次摸到红球的概率是\( \frac{2}{4} \)，别搞混。

计数的时候别上来就套排列组合，先把所有基本事件列出来，用列举法或者树状图数个数，至少不会算错。

然后搞清是什么概率模型：古典概型就数基本事件个数，几何概型就算面积比，相互独立事件就乘概率，别套错公式。

均值、方差、标准差的公式记准：\( \mu = \sum_{i=1}^n x_i p_i \)，\( \sigma^2 = \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 p_i \)，\( \sigma = \sqrt{\sigma^2} \)，别把\( x_i \)和\( p_i \)搞反。

如果正面算概率太麻烦，就用正难则反，比如求“至少有1个次品”的概率，直接用1减去“全是合格品”的概率，比一个个算至少1个、至少2个省一半时间。

概率题一共12分左右，把基础细节抠到位，拿10分完全没问题。

说句实在的，最后这个阶段真别去刷那些模拟题的偏题怪题，就把近5年高考真题里这四类题型的错题挨个刷一遍，把踩过的坑一个个填上，该拿的分一分不丢，数学过110真的不难。我去年带的一个文科生，高三上学期数学还考70多，最后一个月就抓这四个部分的细节，高考考了116，你说有多提分？

要是有啥具体的问题，评论区留言就行，看到就回。